CÁLCULO INFINITESIMAL

Hola Bloggers! En esta entrada vamos a hablar sobre el cálculo infinitesimal, explicaremos en qué consiste y nos centraremos también en Newton y Leibniz en sus descubrimientos sobre este y otros temas.

¿Qué es el cálculo infinitesimal?

A lo largo de la historia, uno de los problemas más recurrentes ha sido el calculo del área de regiones planas. Los griegos calcularon las áreas de los polígonos regulares. El cálculo infinitesimal no nació hasta el siglo XVI; con él, se generalizaron las integrales como herramientas para el cálculo de áreas, entre otras aplicaciones como  la ciencia y la ingeniería y se usa para resolver problemas para los cuales el álgebra por sí sola es insuficiente.
El cálculo infinitesimal constituye una parte fundamental en la matemática moderna, incluye el estudio de los límites, derivadas, integrales y series infinitas. Este cálculo se construye con base en el álgebra, la trigonometría y la geometría analítica e incluye dos campos principales, cálculo diferencial y cálculo integral, que están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. En matemática más avanzada, el cálculo es usualmente llamado análisis y está definido como el estudio de las funciones.
Newton es uno de los más famosos contribuyentes del desarrollo del cálculo, y Leibniz fue acusado de plagiar el trabajo inédito de Isaac Newton, pero es ahora considerado como un inventor independiente y gran desarrollador del cálculo.

NEWTON

BIOGRAFíA 

Newton fue un científico inglés nació en Woolsthorpe, 1642 y murió en Londres, en 1727. Hijo póstumo. Su madre preparó para él un destino de granjero; pero finalmente se convenció del talento del muchacho y le envió a la Universidad de Cambridge, en donde hubo de trabajar para pagarse los estudios. Allí Newton no destacó especialmente, pero asimiló los conocimientos y principios científicos de mediados del siglo XVII, 
Isaac Newton se orientó hacia la investigación en Física y Matemáticas, con tal acierto que a los 29 años ya había formulado teorías que señalarían el camino de la ciencia moderna hasta el siglo XX; por entonces ya había obtenido una cátedra en su universidad (1669).
Suele considerarse a Isaac Newton uno de los protagonistas principales de la llamada «Revolución científica» del siglo XVII y, en cualquier caso, el padre de la mecánica moderna. No obstante, siempre fue remiso a dar publicidad a sus descubrimientos, razón por la que muchos de ellos se conocieron con años de retraso.
Como profesor de Cambridge, Newton se enfrentó a los abusos de Jacobo II contra la universidad, lo cual le llevó a aceptar un escaño en el Parlamento surgido de la «Gloriosa Revolución» (1689-90). En 1696 el régimen le nombró director de la Casa de la Moneda, buscando en él un administrador inteligente y honrado para poner coto a las falsificaciones. Volvería a representar a su universidad en el Parlamento en 1701. En 1703 fue nombrado presidente de la Royal Society de Londres. Y en 1705 culminó la ascensión de su prestigio al ser nombrado caballero.



DESCUBRIMIENTO DE OTRAS DISCIPLINAS

Además del cálculo infinitesimal, Newton hizo descubrimientos importantes en otras disciplinas:
Sus primeras investigaciones giraron en torno a la óptica: explicando la composición de la luz blanca como mezcla de los colores del arco iris, Isaac Newton formuló una teoría sobre la naturaleza corpuscular de la luz y diseñó en 1668 el primer telescopio de reflector, del tipo de los que se usan actualmente en la mayoría de los observatorios astronómicos; más tarde recogió su visión de esta materia en la obra Óptica (1703).

También trabajó en otras áreas, como la termodinámica y la acústica; pero su lugar en la historia de la ciencia se lo debe sobre todo a su refundación de la mecánica. 
En su obra más importante, Principios matemáticos de la filosofía natural (1687), formuló rigurosamente las tres leyes fundamentales del movimiento: la primera ley de Newton o ley de la inercia, según la cual todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme si no actúa sobre él ninguna fuerza; la segunda o principio fundamental de la dinámica, según el cual la aceleración que experimenta un cuerpo es igual a la fuerza ejercida sobre él dividida por su masa; y la tercera, que explica que por cada fuerza o acción ejercida sobre un cuerpo existe una reacción igual de sentido contrario.

De estas tres leyes dedujo una cuarta, que es la más conocida: la ley de la gravedad, que según la leyenda le fue sugerida por la observación de la caída de una manzana del árbol. 

Descubrió que la fuerza de atracción entre la Tierra y la Luna era directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, calculándose dicha fuerza mediante el producto de ese cociente por una constante G; al extender ese principio general a todos los cuerpos del Universo lo convirtió en la ley de gravitación universal, que consta de tres leyes:
1. Los planetas describen ondas elípticas con el sol en uno de sus focos
2. El vector posición de cualquier planeta respecto del sol barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales
3. El cuadrado del periodo empleado por un planeta en dar una vuelta completa alrededor del sol, es directamente proporcional al cubo del semieje principal a la elipse de su órbita.

LEIBNIZ 

BIOGRAFíA

Nació en Leipzig, actual Alemania y murió en 1716 fue un filósofo y matemático alemán. Su padre, profesor de filosofía moral en la Universidad de Leipzig, falleció cuando Leibniz tenía seis años. Capaz de escribir poemas en latín a los ocho años, a los doce empezó a interesarse por la lógica aristotélica a través del estudio de la filosofía escolástica.

En 1661 ingresó en la universidad de su ciudad natal para estudiar leyes, y dos años después se trasladó a la Universidad de Jena, donde estudió matemáticas. En 1666, la Universidad de Leipzig rechazó, a causa de su juventud, concederle el título de doctor, que Leibniz obtuvo sin embargo en Altdorf; tras rechazar el ofrecimiento que allí se le hizo de una cátedra, en 1667 entró al servicio del arzobispo elector de Maguncia como diplomático, y en los años siguientes desplegó una intensa actividad en los círculos cortesanos y eclesiásticos.


En 1672 fue enviado a París con la misión de disuadir a Luis XIV de su propósito de invadir Alemania; aunque fracasó en la embajada, Leibniz permaneció cinco años en París, donde desarrolló una fecunda labor intelectual. 

En 1676 fue nombrado bibliotecario del duque de Hannover, de quien más adelante sería consejero, además de historiador de la casa ducal. A la muerte de Sofía Carlota (1705), la esposa del duque, con quien Leibniz tuvo amistad, su papel como consejero de príncipes empezó a declinar. Dedicó sus últimos años a su tarea de historiador y a la redacción de sus obras filosóficas más importantes, que se publicaron póstumamente.

DESCUBRIMIENTO DE OTRAS DISCIPLINAS 

Leibniz al igual que Newton también hizo otros descubrimientos en otras aplicaciones. Fue el inventor de una máquina de calcular capaz de realizar las operaciones de multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas, así como la elaboración de las bases del cálculo infinitesimal.

La anotación mas usada en la actualidad para escribir las integrales fue introducida por el matemático historiador y filósofo alemán Leibniz. El símbolo que utilizo recuerda a la S .
Esta es la primera letra de la palabra Summa que en latín quiere decir suma y como se vera, etarra muy relacionada con las integrales.
Leibniz utilizó la palabra función del latín functio en 1694 para describir una cantidad característica de una curva .

Participó en la explosión del racionalismo cartesiano que vivió Europa en el s. XVII, coincidiendo con la revolución científica liberada por Newton. Supo compaginar este racionalismo con sus crecías religiosas, en las que Dios es un ser racional de inteligencia supramundana. Su obra reunida en más de 50 volúmenes, se ocupó de la mayor parte del saber científico y filosófico de su época.

EL CÁLCULO INFINITESIMAL SEGÚN NEWTON Y LEIBNIZ

Historia del cálculo inifinitesimal:

En el siglo XVII las matemáticas vivieron una poca de desarrollo, con la aparición de los campos de estudio que hasta ese momento eran inexistentes, que consistía en ideas inconexas pobremente justificadas. En el caso del calculo infinitesimal, este desarrollo coincidió con grandes avances en la física, liderados por científicos como Newton. El mismo Newton desarrollo los fundamentos de este campo de las matemáticas, al mismo tiempo y de forma independiente que Leibniz.
El análisis infinitesimal moderno nació a principios del siglo XVII. Newton y Leibniz establecieron sus principios desde perspectivas diferentes. Newton formalizo el concepto de derivada a partir de la idea de velocidad instantánea de un móvil: como la velocidad es el cambio de la distancia en un espacio de tiempo, el estudiar la velocidad instantánea le permitió entender como actúa el cambio instantáneo de una variable respecto a otra.

Leibniz llego a la derivada desde una interpretación geométrica, estudiando las tangentes de una curva. entender como calcular la pendiente de una tangente a una curva permite entender la idea de aproximación y limite, lo cual es básico para el concepto de derivada. 
estas dos formas de ver la derivada han definido un campo fundamental de las matemáticas, el análisis.

Lo importante en los enfoques de Newton y Leibniz es el hecho de haber englobado en una sola teoría, una amplia variedad de problemas de cuadratura, de rectificación de curvas y de cálculo de tangentes y para funciones específicas. Newton y Leibniz, además de crear métodos de carácter general que resolvían problemas más amplios que los planteados por sus antecesores, agregaron el recurso de una notación científica que aún conservamos y que permitió ampliar el espectro de las aplicaciones, más allá de la geometría y el análisis, hasta la mecánica, la astronomía y la física en general. 


A lo anterior, hay que agregar la visión unificadora que Leibniz y Newton le imprimieron a los procesos del cálculo de tangentes y de cuadratura de curvas, a través del teorema fundamental del cálculo, el cual los relaciona como procesos inversos. Es decir, la integración (asociada a la cuadratura) reversa lo que la derivación (asociada al cálculo de tangentes) hace a una función con ciertas características. Igualmente la derivación va a deshacer lo que la integración le hace a una función integrable. Estos resultados que se constituyen en el núcleo central del cálculo infinitesimal, son a no dudarlo, después del teorema fundamental de la aritmética, descubierto por los antiguos griegos, la mayor conquista de la mente humana en matemáticas, lograda hasta el siglo XVIII.  

El terreno científico estaba suficientemente abonado para que la semilla del cálculo infinitesimal hiciera eclosión. De no haber sido Newton o Leibniz, los que propiciaran su aparición, otros matemáticos habrían llegado a su descubrimiento. Los descubrimientos científicos dejan entrever un período de gestación, largo a veces, como fue el caso del descubrimiento de las geometrías no euclidianas, o del cálculo infinitesimal, después de más de dos mil años de existencia de las matemáticas. O corto a veces, como fue el caso del descubrimiento del genoma humano, hace unos pocos años, cuando la biología y aún la genética no cumplen doscientos años de figurar como ciencias.
Los párrafos anteriores tratan de explicar someramente, los antecedentes de la invención del cálculo y la atmósfera científica que rodearon a Newton y Leibniz, para que se diera la feliz coincidencia de que el trabajo de estos matemáticos desembocara en el descubrimiento de esta área de las matemáticas y sus correspondientes aplicaciones.

CONCLUSIÓN

A pesar de que el conflicto tenía como finalidad dar la autoría de la invención del cálculo a uno de los dos, y el reconocimiento que eso conllevaba, la verdad es que ambos acabaron mal parados. Ambos habrían cometido errores: Newton, al no publicar formalmente sus descubrimientos, y Leibniz, al no mencionar que habría tenido contacto con el trabajo de Newton y no compartir la autoria del descubrimiento.
¿Este convicto se pudo haber evitado? Según algunas hipótesis, la guerra anglo-alemana que hubo nunca debería haber comenzado, y mucho debería haberse desarrollado como se desarrollo. Aunque ambos pusieron las bases del Calculo de manera independiente, ni mucho menos fueron los primeros en dar las nociones iniciales de esta rama matemática. El precursor de estas ideas fue Pierre de Fermat. 
Leibniz reconocía en una carta a Wallis, un matemático inglés, que le debía mucho a Fermat; y Newton escribió que desarrolló su cálculo diferencial en base al método de trazar tangentes de Fermat, que trataba exactamente los máximos y mínimos de curvas polinómicas. Actualmente, toda la comunidad científica reconoce a ambos como los descubridores del cálculo, y se sigue utilizando la notación de ambos, con diferencias entre matemáticas y física. En física, se utiliza la notación de Newton para la diferenciación, la cual consiste en un punto sobre el nombre de la función.

En la notación de Leibniz se representa la operación de diferenciar mediante el operador d/dx. Esta notación permite recordar intuitivamente varios conceptos del calculo como la regla de la cadena, o el de separación de variables en la resolución de ecuaciones diferenciales. 
La notación de Leibniz resulta muy útil cuando se trabaja con derivadas parciales de funciones multivariables y sus operadores derivados, ya que indica que variable de la función es independiente en cada momento.